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<!DOCTYPE html>

<title>Orthotropie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Orthotropie</h1>

</header>

</div>

Die Orthotropie (von <a href="Griechische_Sprache" title="Griechische Sprache">griechisch</a> ορθός orthos „korrekt, senkrecht, gerade stehend“ und τρόπος tropos „Weg, Art und Weise“) ist eine spezielle Art der Richtungsabhängigkeit eines <a href="Werkstoff" title="Werkstoff">Werkstoffs</a>/Materials. Orthotrope Materialien wie im Bild haben die folgenden Eigenschaften:

<ol><li>Das Kraft-Verformungs-Verhalten ändert sich nicht, wenn das Material um 180 Grad um die Orthotropieachsen gedreht wird.</li>

<li>Im Bezugssystem parallel zu den Orthotropieachsen gibt es keine Kopplung zwischen <a href="Dehnung" title="Dehnung">Normaldehnungen</a> und <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Schubverzerrungen</a>.</li></ol>

Ein linear elastisches orthotropes Material besitzt maximal neun Materialparameter.

Ein Material ist <a href="Isotropie" title="Isotropie">isotrop</a>, wenn es richtungsunabhängig dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten hat. Bei <a href="Anisotropie" title="Anisotropie">anisotropen</a> Materialien ist das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängig. Die Orthotropie ist ein Spezialfall der Anisotropie und enthält ihrerseits die <a href="Kubische_Anisotropie" title="Kubische Anisotropie">kubische Anisotropie</a>, <a href="Transversale_Isotropie" title="Transversale Isotropie">transversale Isotropie</a> und Isotropie als Sonderfälle.

Viele Konstruktionswerkstoffe sind orthotrop, z. B. technisches Holz, Gewebe, viele Faser-Kunststoff-Verbunde und Walzbleche mit Textur. Kristalle des <a href="Rhombisches_Kristallsystem" class="mw-redirect" title="Rhombisches Kristallsystem">rhombischen Kristallsystems</a> sind orthotrop<a href="#cite_note-2">[1.1]</a>, Spezialfälle kommen im <a href="Tetragonales_Kristallsystem" title="Tetragonales Kristallsystem">tetragonalen</a><a href="#cite_note-3">[1.2]</a>, <a href="Hexagonales_Kristallsystem" title="Hexagonales Kristallsystem">hexagonalen</a><a href="#cite_note-4">[1.3]</a> und <a href="Kubische_Anisotropie" title="Kubische Anisotropie">kubischen Kristallsystem</a> vor.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</h2></div>

Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) ist gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials: Bei der Orthotropie sind dies alle 180-Grad-Drehungen um die Orthotropieachsen. Diese Drehungen bilden zusammen mit der <a href="Punktspiegelung" class="mw-redirect" title="Punktspiegelung">Punktspiegelung</a> die Symmetriegruppe des orthotropen Materials.<a href="#cite_note-5">[1.4]</a>

Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen zwei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung. Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst nacheinander um beliebige Orthotropieachsen – um 180 Grad. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei orthotropem Material wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten.

Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten Experiment um einen anderen Winkel als 180 Grad dreht. Wenn nicht der Spezialfall transversale Isotropie oder Isotropie vorliegt, wird man nun immer eine andere Verformung messen als im ersten Experiment.

Die angesprochenen Drehungen werden in der <a href="Kontinuumsmechanik" title="Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> durch <a href="Orthogonaler_Tensor" title="Orthogonaler Tensor">orthogonale Tensoren</a> Q repräsentiert. Eine Symmetriegruppe gR besteht aus denjenigen Transformationen, die die <a href="Form%C3%A4nderungsenergie" class="mw-redirect" title="Formänderungsenergie">Formänderungsenergie</a> e invariant lassen. Mathematisch wird das mit dem <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensor</a> E durch

</mrow>

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</msub>

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</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} \in g_{R}\quad \leftrightarrow \quad e(\mathbf {Q\cdot E\cdot Q} ^{\top })=e(\mathbf {E} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1325a870d144605ed4dc28b46f86b292e5226576.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.979ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} \in g_{R}\quad \leftrightarrow \quad e(\mathbf {Q\cdot E\cdot Q} ^{\top })=e(\mathbf {E} )}" loading="lazy"> für alle E</dd></dl>

ausgedrückt.<a href="#cite_note-6">[1.5]</a> Darin bedeutet „·“ das <a href="Matrizenprodukt" class="mw-redirect" title="Matrizenprodukt">Matrizenprodukt</a> und das hochgestellte „⊤“ eine <a href="Transponierte_Matrix" title="Transponierte Matrix">Transponierung</a>. Mit Q gehört auch -Q zur Symmetriegruppe, was durch Hinzufügen des negativen Einheitstensors -1, der eine <a href="Punktspiegelung" class="mw-redirect" title="Punktspiegelung">Punktspiegelung</a> repräsentiert, zu gR berücksichtigt wird. Die Symmetriegruppe des orthotropen Materials ist<a href="#cite_note-7">[1.6]</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{R}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\pi },\mathbf {Q} _{2}^{\pi }\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6edf4ac152e92fb4605f58bd966ddaa6cbc9584.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.589ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{R}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\pi },\mathbf {Q} _{2}^{\pi }\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin steht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} _{i}^{\alpha }}">

</mrow>

</mrow>

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</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{i}^{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bfbef541edaad21ce9147b2d7dd2ef0b61b031d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.292ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{i}^{\alpha }}" loading="lazy"> für den <a href="Orthogonaler_Tensor" title="Orthogonaler Tensor">orthogonalen Tensor</a>, der mit dem Winkel α in <a href="Radiant_(Einheit)" title="Radiant (Einheit)">Radiant</a> um die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te Orthotropieachse dreht. Die 180-Grad-Drehung um die 3-Achse ist in gR enthalten, denn

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{1}^{\pi }\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\pi }\cdot \mathbf {Q} _{3}^{\pi }=\mathbf {1} =(-\mathbf {1} )^{2}\in g_{R}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56841350559f9af35f9381ab8901c3b50dbe5850.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.875ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{1}^{\pi }\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\pi }\cdot \mathbf {Q} _{3}^{\pi }=\mathbf {1} =(-\mathbf {1} )^{2}\in g_{R}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Invarianten">Invarianten</h2></div>

In der isotropen <a href="Hyperelastizit%C3%A4t" title="Hyperelastizität">Hyperelastizität</a> hängt die Formänderungsenergie von den <a href="Hauptinvariante" title="Hauptinvariante">Hauptinvarianten</a> I1,2,3 des Verzerrungstensors E ab:

Die analoge Darstellung der Anisotropie erfordert, dass ein komplettes System von <a href="Skalar_(Physik)" class="mw-redirect" title="Skalar (Physik)">skalarwertigen</a> Funktionen bekannt ist, die unter allen Transformationen in der Symmetriegruppe gR invariant sind.<a href="#cite_note-5">[1.4]</a> Bei der Orthotropie bleiben die folgenden Terme invariant:<a href="#cite_note-7">[1.6]</a>

Darin ist Eij := êi·E·êj für i,j=1,2,3 und ê1,2,3 sind die <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektoren</a> in Richtung der paarweise orthogonalen Orthotropieachsen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Orthotropie_in_der_Linearen_Elastizitätstheorie">Orthotropie in der Linearen Elastizitätstheorie</h2></div>

Gegeben sind zwei <a href="Tensor" title="Tensor">Tensoren</a> zweiter Stufe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e45fe1b9d8dcbc3103fc7805d69798bfe5ca5b16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8445af5ff7da70714382bc35e78bedcacf68e825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> mit 3×3-Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43acbf52cc4d4f83f187ceaa49f045114b71772e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.804ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a71e2079cee1685c2402d4d4ef48d75db18b4a64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.561ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ij}}" loading="lazy">. Der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen diesen Koeffizienten gibt, ist:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{C}:\varepsilon _{kl}\rightarrow \sigma _{ij}=\sum _{k,l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2b802f125fe9cc7a903f43ebae4391d06f966eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:28.177ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle f_{C}:\varepsilon _{kl}\rightarrow \sigma _{ij}=\sum _{k,l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Darin sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{ijkl}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94cb5780b92c6b4cec637a215f2f467f20f67927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}}" loading="lazy"> 81 Koeffizienten mit denen die neun Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{ij}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a71e2079cee1685c2402d4d4ef48d75db18b4a64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.561ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ij}}" loading="lazy"> auf neun Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43acbf52cc4d4f83f187ceaa49f045114b71772e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.804ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}}" loading="lazy"> abgebildet werden. In der linearen <a href="Elastizit%C3%A4tstheorie" title="Elastizitätstheorie">Elastizitätstheorie</a>, in der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e45fe1b9d8dcbc3103fc7805d69798bfe5ca5b16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}" loading="lazy"> der symmetrische <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8445af5ff7da70714382bc35e78bedcacf68e825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> der symmetrische <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensor</a> ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Tensor-Komponenten auf sechs, so dass nur 36 Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{ijkl}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94cb5780b92c6b4cec637a215f2f467f20f67927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}}" loading="lazy"> unabhängig sind. Diesen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen kann man nun in <a href="Voigt%E2%80%99sche_Notation" class="mw-redirect" title="Voigt’sche Notation">Voigt’scher Notation</a> auch als Matrizengleichung schreiben:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{i}^{\text{v}}=\sum _{j=1}^{3}C_{ij}^{\text{v}}\varepsilon _{j}^{\text{v}}\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1123}&C_{1113}&C_{1112}\\C_{2211}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2223}&C_{2213}&C_{2212}\\C_{3311}&C_{3322}&C_{3333}&C_{3323}&C_{3313}&C_{3312}\\C_{2311}&C_{2322}&C_{2333}&C_{2323}&C_{2313}&C_{2312}\\C_{1311}&C_{1322}&C_{1333}&C_{1323}&C_{1313}&C_{1312}\\C_{1211}&C_{1222}&C_{1233}&C_{1223}&C_{1213}&C_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebab414d5ffb4f3ffe20f130a455c548dcd97ed4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:82.893ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{i}^{\text{v}}=\sum _{j=1}^{3}C_{ij}^{\text{v}}\varepsilon _{j}^{\text{v}}\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&C_{1123}&C_{1113}&C_{1112}\\C_{2211}&C_{2222}&C_{2233}&C_{2223}&C_{2213}&C_{2212}\\C_{3311}&C_{3322}&C_{3333}&C_{3323}&C_{3313}&C_{3312}\\C_{2311}&C_{2322}&C_{2333}&C_{2323}&C_{2313}&C_{2312}\\C_{1311}&C_{1322}&C_{1333}&C_{1323}&C_{1313}&C_{1312}\\C_{1211}&C_{1222}&C_{1233}&C_{1223}&C_{1213}&C_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\text{v}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\text{v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80ec3aba1dc9cfbb595de970b03d9c72537b8a73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.898ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{\text{v}}}" loading="lazy"> mit den 36 unabhängigen Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{ijkl}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94cb5780b92c6b4cec637a215f2f467f20f67927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}}" loading="lazy"> repräsentiert den <a href="Elastizit%C3%A4tstensor" title="Elastizitätstensor">Elastizitätstensor</a> des Materials. Im Fall der <a href="Hyperelastizit%C3%A4t" title="Hyperelastizität">Hyperelastizität</a> ist diese Matrix <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrisch</a>, so dass dann nur noch 21 Einträge unabhängig sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Materialparameter">Materialparameter</h3></div>

Die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{ijkl}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94cb5780b92c6b4cec637a215f2f467f20f67927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}}" loading="lazy"> des Elastizitätstensors ergeben sich bei orthotroper linearer Elastizität aus nur neun Materialparametern, die in Versuchen an <a href="Unidirektionale_Schicht" title="Unidirektionale Schicht">makroskopischen Proben</a> ermittelt werden können:

<th>Formelzeichen</th>

<th>Bedeutung

</th></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}</annotation>

</semantics>

<td><a href="Elastizit%C3%A4tsmodul" title="Elastizitätsmodul">Elastizitätsmoduln</a> in den Orthotropieachsen

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{12},G_{13},G_{23}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92a491527a0c34def4a0e07c2b9b1133a08260f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.177ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{12},G_{13},G_{23}}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Schubmodul" title="Schubmodul">Schubmoduln</a> in Ebenen senkrecht zu den Orthotropieachsen

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{12},\nu _{13},\nu _{23}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c815b9b197a6135c2fcc386424923f1e7516c74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.142ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{12},\nu _{13},\nu _{23}}" loading="lazy"></td>

<td><a href="Querkontraktionszahl" class="mw-redirect" title="Querkontraktionszahl">Querkontraktionszahlen</a> bei Zug in Richtung einer Orthotropieachse

</td></tr></tbody></table>

Die <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> der Elastizitätsmoduln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d27f23cfea908d9196cea30b39eaba4df399b26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.376ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}}" loading="lazy"> und Schubmoduln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{12},G_{23},G_{13}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{12},G_{23},G_{13}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8be1651a9cf768c7d53f00c4cb1ccaa488dcd99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.177ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{12},G_{23},G_{13}}" loading="lazy"> ist Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1785591d9b4454b98ad0206dd4ff9fcbd465d799.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.626ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \nu _{ij}}" loading="lazy"> dimensionslos sind.

Die Querkontraktionszahlen beschreiben, wie sich eine entlang einer Richtung – z. B. der 1-Richtung – gezogene Materialprobe quer dazu – z. B. in 2-Richtung – kontrahiert. Die entsprechende Querkontraktionszahl wäre dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{12}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab7c0d2b2099f20ff6ad6749ead46095036145c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.025ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{12}}" loading="lazy">. Die Normaldehnung in i-Richtung wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{ii}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{ii}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/345acff72f6edbd667cec63077c02be68ed92978.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.451ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ii}}" loading="lazy"> bezeichnet. Dann ist für beliebige Werkstoffe die Querkontraktionszahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{ij}}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{ij}=-{\frac {\varepsilon _{jj}}{\varepsilon _{ii}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dd8d612ad684b728f6cc0432627250fd33a90b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.039ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \nu _{ij}=-{\frac {\varepsilon _{jj}}{\varepsilon _{ii}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wegen des Ursache-Wirkungs-Konzepts ist meistens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{ij}\nu _{ji}\neq 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{ij}\nu _{ji}\neq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/530613ee8667c48c66cd2f86f777ab8471c50883.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \nu _{ij}\nu _{ji}\neq 1}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elastizitätsgesetz_für_3D">Elastizitätsgesetz für 3D</h3></div>

Ein Material ist linear elastisch orthotrop, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das <a href="Elastizit%C3%A4tsgesetz" title="Elastizitätsgesetz">Elastizitätsgesetz</a> dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form annimmt:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

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</mrow>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{3}}}&&&\\&&&{\frac {1}{G_{23}}}&&\\&&&&{\frac {1}{G_{13}}}&\\&&&&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}} _{=:S}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4738cd7a77cb300da9e616c46daf1205f7f6ec82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -16.005ex; width:59.34ex; height:29.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}&&&\\-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{3}}}&&&\\&&&{\frac {1}{G_{23}}}&&\\&&&&{\frac {1}{G_{13}}}&\\&&&&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}} _{=:S}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Matrix S ist die Nachgiebigkeitsmatrix und ihre Symmetrie erfordert:

<mfrac>

<msub>

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</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}={\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aebedf029303045d58245be1fdde594800213031.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:40.982ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}={\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}\,,\quad {\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}={\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

sodass von den zwölf Einträgen nur neun unabhängig sind.

Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie liefert die ebenfalls symmetrische Steifigkeitsmatrix

<mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{31}+\nu _{32}\nu _{21}}{D}}E_{1}\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&{\frac {\nu _{32}+\nu _{31}\nu _{12}}{D}}E_{2}\\{\frac {\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23}}{D}}E_{3}&{\frac {\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13}}{D}}E_{3}&{\frac {1-\nu _{12}\nu _{21}}{D}}E_{3}\\&&&G_{23}\\&&&&G_{13}\\&&&&&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad39dd04b9b7a6359c6fdf691e511e53214811dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.671ex; width:80.154ex; height:22.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{31}+\nu _{32}\nu _{21}}{D}}E_{1}\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&{\frac {\nu _{32}+\nu _{31}\nu _{12}}{D}}E_{2}\\{\frac {\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23}}{D}}E_{3}&{\frac {\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13}}{D}}E_{3}&{\frac {1-\nu _{12}\nu _{21}}{D}}E_{3}\\&&&G_{23}\\&&&&G_{13}\\&&&&&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc507f2e0477441ca08dd139f05d03b195c8731c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:46.966ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D=1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Nachgiebigkeitsmatrix und die Steifigkeitsmatrix sind an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezialfälle_der_Orthotropie">Spezialfälle der Orthotropie</h3></div>

In der <a href="Kubische_Anisotropie" title="Kubische Anisotropie">kubischen Anisotropie</a> sind die Elastizitäts- und Schubmoduln sowie die Querdehnzahlen alle gleich:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}=E_{2}=E_{3},\quad G_{12}=G_{13}=G_{23},\quad \nu _{12}=\nu _{21}=\nu _{13}=\nu _{31}=\nu _{23}=\nu _{32}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73476008862e16c607b8932687fd3b2497f9d7f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:72.165ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}=E_{2}=E_{3},\quad G_{12}=G_{13}=G_{23},\quad \nu _{12}=\nu _{21}=\nu _{13}=\nu _{31}=\nu _{23}=\nu _{32}}" loading="lazy"></dd></dl>

womit nur drei unabhängige Elastizitätsparameter übrig bleiben. <a href="Transversale_Isotropie" title="Transversale Isotropie">Transversale Isotropie</a> mit fünf unabhängigen Elastizitätsparametern stellt sich ein mit:

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1367248428d1cb50f11cd214e0809003c1f714e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.711ex; margin-bottom: -0.294ex; width:18.388ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}&=E_{3}\\G_{12}&=G_{13}\\\nu _{12}&=\nu _{13}\\G_{23}&={\frac {E_{2}}{2(1+\nu _{23})}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In der Isotropie gelten die Identitäten der kubischen Anisotropie und die drei übrig bleibenden unabhängigen Größen sind zusätzlich durch den letzten Zusammenhang in der transversalen Isotropie verbunden, sodass nur noch zwei unabhängige Elastizitätsparameter übrig bleiben.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ebener_Spannungszustand">Ebener Spannungszustand</h3></div>

In dünnwandigen Strukturen aus orthtropem Material sind zwei der Orthotropieachsen oftmals in den Vorzugsrichtungen der Struktur gelegen, wie zum Beispiel bei Holzplatten, und es liegt ein ebener Spannungszustand vor.

Hier ist σ13=σ23=σ33=0 und aus letzterer Identität leitet sich

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{33}=-{\frac {(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}=-{\frac {1}{E_{3}}}(\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22})}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9651af0e8046c3613750ae1fad1d62f15b9d1286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:70.529ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{33}=-{\frac {(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}=-{\frac {1}{E_{3}}}(\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22})}" loading="lazy"></dd></dl>

ab. Das Elastizitätsgesetz vereinfacht sich zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afd511ac71470f0564094263601a23b0eb0ec982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.535ex; margin-bottom: -0.303ex; width:40.163ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw.

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {E_{1}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&{\frac {\nu _{21}E_{1}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&0\\{\frac {\nu _{12}E_{2}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&{\frac {E_{2}}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}&0\\0&0&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}</annotation>

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mit jeweils symmetrischer Nachgiebigkeits- bzw. Steifigkeitsmatrix.

In der linearen orthotropen Elastizität für den Ebenen Spannungszustand werden die Schubmoduln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{13},G_{23}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{13},G_{23}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52b4a0ec7abde9dd0fa77d290caf5b6874b0c751.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.44ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{13},G_{23}}" loading="lazy"> nicht gebraucht, sodass nur sieben Materialparameter ausreichen, und wenn nur die Spannungen und Verzerrungen in der Ebene interessieren, sind es nur mehr vier Materialparameter.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ebener_Verzerrungszustand">Ebener Verzerrungszustand</h3></div>

Hier finden die Verzerrungen ausschließlich in der 1-2-Ebene statt, nur die Normalspannung senkrecht zur Ebene darf auftreten. Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{33}=0}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{33}=\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22}={\frac {E_{3}}{D}}[(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae1032f0cd2931fd25a0b59c3f2a2c59e4e99b3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:65.804ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{33}=\nu _{31}\sigma _{11}+\nu _{32}\sigma _{22}={\frac {E_{3}}{D}}[(\nu _{13}+\nu _{12}\nu _{23})\varepsilon _{11}+(\nu _{23}+\nu _{21}\nu _{13})\varepsilon _{22}]}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}\,.}</annotation>

</semantics>

ab. Das Elastizitätsgesetz reduziert sich auf

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&0\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&0\\0&0&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d7ebacbdb27dad7205aae9682a7a029de8160d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:53.963ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{D}}E_{1}&{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{D}}E_{1}&0\\{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{D}}E_{2}&{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{D}}E_{2}&0\\0&0&G_{12}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw.

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{E_{1}}}&{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20ca89400b15809f957cc72891395a17de833691.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.888ex; margin-bottom: -0.283ex; width:51.964ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu _{13}\nu _{31}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}+\nu _{23}\nu _{31}}{E_{2}}}&0\\-{\frac {\nu _{12}+\nu _{13}\nu _{32}}{E_{1}}}&{\frac {1-\nu _{23}\nu _{32}}{E_{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit jeweils symmetrischer Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitsmatrix.

In der linearen orthotropen Elastizität für den Ebenen Verzerrungszustand werden die Schubmoduln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{13},G_{23}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{13},G_{23}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stabilitätskriterien">Stabilitätskriterien</h3></div>

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen <a href="Positiv_definit" class="mw-redirect" title="Positiv definit">positiv definit</a> sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:

<ul><li>Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und</li>

<li>die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).</li></ul>

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:<a href="#cite_note-altenbach-8">[2]</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}E_{1},E_{2},E_{3},G_{12},G_{13},G_{23}>0\\|\nu _{12}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{2}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{12}\nu _{21}>0\\|\nu _{13}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{13}\nu _{31}>0\\|\nu _{23}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{23}\nu _{32}>0\\1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}>0\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e81eb6b3bb1eaf7ab9374b96e4d9de803b8bbb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.505ex; width:45.922ex; height:26.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}E_{1},E_{2},E_{3},G_{12},G_{13},G_{23}>0\\|\nu _{12}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{2}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{12}\nu _{21}>0\\|\nu _{13}|<{\sqrt {\dfrac {E_{1}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{13}\nu _{31}>0\\|\nu _{23}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{3}}}}\quad \rightarrow \quad 1-\nu _{23}\nu _{32}>0\\1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{13}\nu _{31}-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}>0\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen. Aus der Symmetrie der Nachgiebigkeitsmatrix folgt ergänzend:

<mtr>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}|\nu _{21}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{1}}}}\\|\nu _{31}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{1}}}}\\|\nu _{32}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{2}}}}\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84364ed1c9359b80f45c5b915029dc201b229599.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.171ex; width:14.098ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}|\nu _{21}|<{\sqrt {\dfrac {E_{2}}{E_{1}}}}\\|\nu _{31}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{1}}}}\\|\nu _{32}|<{\sqrt {\dfrac {E_{3}}{E_{2}}}}\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung">Herleitung</h3></div>

In der <a href="Hyperelastizit%C3%A4t" title="Hyperelastizität">Hyperelastizität</a> ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der <a href="Form%C3%A4nderungsenergie" class="mw-redirect" title="Formänderungsenergie">Formänderungsenergie</a> nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Unter Verwendung der <a href="#Invarianten">#Invarianten</a> Terme ergibt sich der Ansatz

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}w({\boldsymbol {\varepsilon }})=&{\frac {a}{2}}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {b}{2}}\varepsilon _{22}^{2}+{\frac {c}{2}}\varepsilon _{33}^{2}+d\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{11}\varepsilon _{33}+f\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}\\&+2g\varepsilon _{23}^{2}+2h\varepsilon _{13}^{2}+2p\varepsilon _{12}^{2}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67076de4a7f86e0a4cebf340f250e0ac7e82a0c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.483ex; margin-bottom: -0.188ex; width:58.388ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}w({\boldsymbol {\varepsilon }})=&{\frac {a}{2}}\varepsilon _{11}^{2}+{\frac {b}{2}}\varepsilon _{22}^{2}+{\frac {c}{2}}\varepsilon _{33}^{2}+d\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{11}\varepsilon _{33}+f\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}\\&+2g\varepsilon _{23}^{2}+2h\varepsilon _{13}^{2}+2p\varepsilon _{12}^{2}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit neun Parametern a bis p. Um dies nach ε ableiten zu können, müssen die Komponenten εij als Funktion des Tensors ε ausgedrückt werden. Dies gelingt mit der Darstellung des <a href="Frobenius-Skalarprodukt#Darstellung_als_Spur" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukts</a> ":" als <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a>:

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Spur} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32d8eec38dbbc5b948005a536e5d73aa90ee8776.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.312ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Spur} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit der Abkürzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {K} _{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {K} _{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3580a8610befdcdd6d9a00438221b430d5b9fcce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.584ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {K} _{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})}" loading="lazy"> für die symmetrisierten <a href="Dyadisches_Produkt" title="Dyadisches Produkt">dyadischen Produkte</a> der Orthotropieachsenvektoren ist dann<a href="#cite_note-Frechet-9">[3]</a>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {K} _{ij}:{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji})=\varepsilon _{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\mathbf {K} _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1a58667d28a8f00256227e8d454cd550c59d8a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:46.883ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {K} _{ij}:{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji})=\varepsilon _{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\mathbf {K} _{ij}}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{11}+b\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{22}+c\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{33}\\&+d(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{22})+e(\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{33})+f(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{33}+\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{22})\\&+4g\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23}+4h\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+4p\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5df6bc2cdccbc70d05950c3b6bfa28343cdfeb79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.952ex; margin-bottom: -0.22ex; width:79.317ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{11}+b\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{22}+c\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{33}\\&+d(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{22})+e(\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{33})+f(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{33}+\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{22})\\&+4g\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23}+4h\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+4p\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder in Voigt-Notation im ê1,2,3-System

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\varepsilon _{11}+d\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{33}\\d\varepsilon _{11}+b\varepsilon _{22}+f\varepsilon _{33}\\e\varepsilon _{11}+f\varepsilon _{22}+c\varepsilon _{33}\\2g\varepsilon _{23}\\2h\varepsilon _{13}\\2p\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&d&e&&&\\d&b&f&&&\\e&f&c&&&\\&&&g&&\\&&&&h&\\&&&&&p\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/370d0937f595d586768c099328f9b3640101713a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:66.045ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\varepsilon _{11}+d\varepsilon _{22}+e\varepsilon _{33}\\d\varepsilon _{11}+b\varepsilon _{22}+f\varepsilon _{33}\\e\varepsilon _{11}+f\varepsilon _{22}+c\varepsilon _{33}\\2g\varepsilon _{23}\\2h\varepsilon _{13}\\2p\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&d&e&&&\\d&b&f&&&\\e&f&c&&&\\&&&g&&\\&&&&h&\\&&&&&p\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im <a href="#Elastizitätsgesetz_für_3D">#Elastizitätsgesetz für 3D</a> lassen sich die Parameter direkt ablesen. Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen <a href="Elastizit%C3%A4tstensor" title="Elastizitätstensor">Elastizitätstensor</a> 4. Stufe:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} :={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{11}+b\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{22}+c\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33}+d(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{11})\\&+e(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{11})+f(\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{22})\\&+4g\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23}+4h\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+4p\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa1b8d2492515eaceb46231af51319889b304af0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.952ex; margin-bottom: -0.22ex; width:83.875ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} :={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{11}+b\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{22}+c\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33}+d(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{11})\\&+e(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{11})+f(\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{33}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{22})\\&+4g\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23}+4h\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+4p\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Tensoren Kii werden Strukturvariable genannt, weil sie die interne Struktur des Materials repräsentieren<a href="#cite_note-10">[1.7]</a> und mit ihnen auch die invarianten Terme dargestellt werden können. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem

<ol><li>die Parameter a bis p durch Funktionen der invarianten Terme ersetzt werden, siehe <a href="Hyperelastizit%C3%A4t#Orthotrope_Hyperelastizität" title="Hyperelastizität">Hyperelastizität#Orthotrope Hyperelastizität</a>, und/oder</li>

<li>die invarianten Terme höherer Ordnung im Ansatz zur Formänderungsenergie berücksichtigt werden.<a href="#cite_note-11">[1.8]</a></li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gründe_für_die_Besetztheit_der_Steifigkeitsmatrix">Gründe für die Besetztheit der Steifigkeitsmatrix</h2></div>

In diesem Abschnitt wird die Frage geklärt, warum die Steifigkeitsmatrix nur an den entsprechenden Stellen besetzt ist. Im Allgemeinen tauchen in einem linearen Materialgesetz 21 unabhängige Materialkonstanten auf. Im Fall der Orthotropie reduziert sich aber die Zahl der Konstanten auf 9. Warum das so ist, ist nachfolgend dargestellt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Drehmatrizen_bei_180-Grad-Drehungen">Drehmatrizen bei 180-Grad-Drehungen</h3></div>

Die (linearen) Abbildungen, die 180-Grad-Drehungen um die Orthotropieachsen beschreiben, lassen sich mit Matrizen beschreiben. Wählt man als Bezug eine Basis, deren Basisvektoren sich mit den senkrecht aufeinanderstehenden Drehachsen decken, dann haben diese <a href="Orthogonale_Matrix" title="Orthogonale Matrix">orthogonalen Matrizen</a> folgende Gestalt

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}},&&A_{y}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},&&A_{z}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9240d42a025cdddcda769c95ecd73f10b33a20d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:76.533ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}},&&A_{y}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},&&A_{z}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

Diese 3 Matrizen bilden eine echte Untergruppe der <a href="Drehgruppe" title="Drehgruppe">Drehgruppe</a> SO(3). Das Produkt dieser drei Matrizen ist die <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{x}A_{y}A_{z}=E}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{x}A_{y}A_{z}=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac2e2780251913f142425031d17b0658e7cb5fb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{x}A_{y}A_{z}=E}" loading="lazy">.

Die 3 Matrizen Ax,y,z und zusätzlich die negative Einheitsmatrix -E, die eine <a href="Punktspiegelung" class="mw-redirect" title="Punktspiegelung">Punktspiegelung</a> repräsentiert, bilden die Symmetriegruppe des orthotropen Materials<a href="#cite_note-7">[1.6]</a>. Die Symmetriegruppe eines anisotropen Materials ohne -E ist immer eine echte Untergruppe der <a href="Drehgruppe" title="Drehgruppe">Drehgruppe</a> SO(3); SO(3) mit -E ist die Symmetriegruppe eines isotropen Materials.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetriebedingung_in_Indexschreibweise_und_Voigt’scher_Notation">Symmetriebedingung in Indexschreibweise und Voigt’scher Notation</h3></div>

<a href="Gedankenexperiment" title="Gedankenexperiment">Gedankenexperiment</a>: Ein Teilchen und dessen Umgebung wird einer bestimmten <a href="Verformung" title="Verformung">Deformation</a> unterzogen und damit einem bestimmten Verzerrungstensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">. Im einfachsten Fall (der allerdings zur Definition der Orthotropie nicht ausreichend allgemein ist) könnte das Teilchen nur in einer bestimmten Richtung gestreckt werden. Nun ändert man die Streckungsrichtung aktiv. Das heißt, man lässt den materiellen Punkt wie er ist (dreht also das Material nicht) und unterzieht den Punkt aber (derselben) Streckung in anderer Richtung. Man gelangt damit zu einem anderen Verzerrungstensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f0388d8ac5b0755d1d034a55195e409f0efb532.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.768ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon '}" loading="lazy">.

Die Änderung der Verzerrungsrichtung kann mit einer Drehmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> beschrieben werden. Es gilt

<msup>

</msup>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon '=A\,\varepsilon \,A^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3b96ff7a4e52ecf68f7b68ead5f38321bcfabaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.543ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon '=A\,\varepsilon \,A^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mithilfe eines linearen Materialgesetzes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddea767aa91c0adedb766ba683ad5bc8e08ead4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.62ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{C}}" loading="lazy"> lässt sich für gegebenen Verzerrungstensor der zugehörige <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> ermitteln. Es sei

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &:=f_{C}(\varepsilon )\\\sigma '&:=f_{C}(\varepsilon ')\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0bbedf0bb46bdabf1b675f2e198840a03deba0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.71ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &:=f_{C}(\varepsilon )\\\sigma '&:=f_{C}(\varepsilon ')\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im allgemeinen Fall der Anisotropie gilt zwar nicht

<msup>

</msup>

<msup>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma '=A\,\sigma \,A^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61a907a0eae8e6a814185972984caf8d731bc422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.037ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma '=A\,\sigma \,A^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

Aber genau dies fordert man für die oben beschriebene Teilmenge von SO(3) im Fall der Orthotropie: Ein Material heißt orthotrop, wenn für die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddea767aa91c0adedb766ba683ad5bc8e08ead4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.62ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{C}}" loading="lazy"> folgende Symmetrietransformation für jede der oben genannten (orthogonalen) Drehmatrizen und für beliebige Verzerrungen gilt

<mtr>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}Af_{C}(\varepsilon )A^{-1}&=f_{C}(A\varepsilon A^{-1})\Leftrightarrow Af_{C}(\varepsilon )A^{T}=f_{C}(A\varepsilon A^{T})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac82013b94de4f2f30c7d5927b911118ea4fb734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:54.004ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}Af_{C}(\varepsilon )A^{-1}&=f_{C}(A\varepsilon A^{-1})\Leftrightarrow Af_{C}(\varepsilon )A^{T}=f_{C}(A\varepsilon A^{T})\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In Indexschreibweise

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{mn}'=A_{mo}C_{opjk}\varepsilon _{jk}A_{np}&=C_{mnil}\varepsilon '_{il}=C_{mnil}A_{ij}\varepsilon _{jk}A_{lk}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/959d87f739554c0562ada05f72706cd058e6385d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:52.468ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{mn}'=A_{mo}C_{opjk}\varepsilon _{jk}A_{np}&=C_{mnil}\varepsilon '_{il}=C_{mnil}A_{ij}\varepsilon _{jk}A_{lk}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun dieselbe Bedingung in Voigt’scher Notation: Mit der Definition

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}\\\varepsilon '_{22}\\\varepsilon '_{33}\\2\varepsilon '_{23}\\2\varepsilon '_{13}\\2\varepsilon '_{12}\end{bmatrix}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow {\varepsilon '}^{\text{v}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a359c3390e2ef6bade17890709b0b3128106ec5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.838ex; width:37.25ex; height:20.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}\\\varepsilon '_{22}\\\varepsilon '_{33}\\2\varepsilon '_{23}\\2\varepsilon '_{13}\\2\varepsilon '_{12}\end{bmatrix}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\Leftrightarrow {\varepsilon '}^{\text{v}}=A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In Voigt’scher Notation erhält man also als Symmetriebedingung

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fedf42806bd0c3e31fad3fc8482cbf754cbffdc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.296ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\sigma '}^{\text{v}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\sigma }^{\text{v}}&=A_{\sigma }^{\text{v}}C^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}=C^{\text{v}}{\varepsilon '}^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Und da dies für beliebige Dehnungen gelten muss, ist die Symmetriebedingung

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea2f40c044ee1699eee0cbb0d228a15566b72087.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\sigma }^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezialfall_180-Grad-Drehungen">Spezialfall 180-Grad-Drehungen</h3></div>

Da im Spezialfall der Orthotropie die 3×3-Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

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Die drei 3×3-Matrizen entsprechen also den drei 6x6-Matrizen

<mtr>

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<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Auswertung_der_Symmetriebedingungen_für_den_Spezialfall">Auswertung der Symmetriebedingungen für den Spezialfall</h3></div>

Die Symmetriebedingung ausgewertet für diese Matrizen ergibt

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<mtext>wegen </mtext>

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An den letzten 3 Gleichungen erkennt man, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> nur folgende Gestalt haben kann

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mtr>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}^{\text{v}}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8074da96e9465f85f0cb04bd246bce5d52ff6d8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.838ex; width:43.441ex; height:20.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}^{\text{v}}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da diese Voigt’sche Steifigkeitsmatrix außerdem symmetrisch ist, bleibt

<mtr>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\&&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\&&&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\&{\text{sym}}&&&C_{55}^{\text{v}}&0\\&&&&&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fd56d44c61ae80349701204eb1db3b18f58978b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.838ex; width:43.983ex; height:20.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\&&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\&&&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\&{\text{sym}}&&&C_{55}^{\text{v}}&0\\&&&&&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenfassung">Zusammenfassung</h2></div>

<ul><li>Die Orthotropie in der linearen Elastizitätstheorie lässt sich definieren als ein Spezialfall der Anisotropie, bei dem die Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix eine besonders einfache Form annimmt (9 Konstanten anstelle von 21 Konstanten im allgemeinen Fall).</li>

<li>Neben der Orthotropie gibt es noch andere Spezialfälle der Anisotropie, z. B. Transversalisotropie, Isotropie etc. Hierbei werden dieselben Symmetriebedingungen angegeben. Nur werden dann andere Untergruppen der Drehgruppe (also andere Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

<li>An der Form des elastischen Gesetzes erkennt man, dass die Kopplung zwischen Zug und Schub für Belastung entlang der Orthotropierichtungen entfällt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Materialmodell" title="Materialmodell">Materialmodell</a></li>

<li><a href="Spezielle_lineare_Gruppe" title="Spezielle lineare Gruppe">Spezielle lineare Gruppe</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/orthotrop" class="extiw external" title="wikt:orthotrop">Wiktionary: orthotrop</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li>↑ P. Haupt: <cite style="font-style:italic">Continuum Mechanics and Theory of Materials</cite>. Springer, 2002, ISBN 978-3-642-07718-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthotropie&rft.au=P.+Haupt&rft.btitle=Continuum+Mechanics+and+Theory+of+Materials&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=9783642077180&rft.pub=Springer" style="display:none">

<ol class="mw-subreference-list"><li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> 390

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> 391

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> 393

</li>

<li id="cite_note-5">↑ <a href="#cite_ref-5">a</a> <a href="#cite_ref-5-1">b</a> 380

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> 379

</li>

<li id="cite_note-7">↑ <a href="#cite_ref-7">a</a> <a href="#cite_ref-7-1">b</a> <a href="#cite_ref-7-2">c</a> 382

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> 387

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> 394

</li>

</ol></li>

<li id="cite_note-altenbach-8"><a href="#cite_ref-altenbach_8-0">↑</a> <a href="Holm_Altenbach" title="Holm Altenbach">Holm Altenbach</a>: <cite style="font-style:italic">Kontinuumsmechanik</cite>. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 331, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-24119-2">10.1007/978-3-642-24119-2</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthotropie&rft.au=Holm+Altenbach&rft.btitle=Kontinuumsmechanik&rft.date=2012&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-24119-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783642241185&rft.pages=331&rft.place=Berlin%2FHeidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Frechet-9"><a href="#cite_ref-Frechet_9-0">↑</a> Die ij-Komponente eines beliebigen Tensors zweiter Stufe T im ê1,2,3-System ist

<mtr>

<mtd>

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</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T_{ij}:=&{\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{j}={\hat {e}}_{j}\cdot ({\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} )\\=&\mathrm {Spur} ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} ):=({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {T} \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56a8d9e5c5d9767b0e5655de0cab1dc4b97aef13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.311ex; margin-bottom: -0.194ex; width:40.44ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T_{ij}:=&{\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{j}={\hat {e}}_{j}\cdot ({\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} )\\=&\mathrm {Spur} ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} ):=({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {T} \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Fr%C3%A9chet-Ableitung" title="Fréchet-Ableitung">Fréchet-Ableitung</a> hiervon nach T ist der beschränkte lineare Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}" loading="lazy"> der – sofern er existiert – in allen Richtungen H dem <a href="G%C3%A2teaux-Differential" title="Gâteaux-Differential">Gâteaux-Differential</a> entspricht, also

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

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</mover>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}(\mathbf {H} )=&\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}[({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )]\right|_{s=0}\\=&({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} \quad \forall \;\mathbf {H} \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8d7daf8535654995e1e9a80442d71b445456a99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:37.843ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}(\mathbf {H} )=&\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}[({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )]\right|_{s=0}\\=&({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} \quad \forall \;\mathbf {H} \end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36efff902c6854b1196e79dec095b31e0c6a8ee9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.609ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und der lineare Operator ist das Skalarprodukt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91a50b8c252bd742ed5b95bcd25894b58cb3fbf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.133ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}" loading="lazy">. Hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {\varepsilon }}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57f35e241b18d99b1931560bb5b7d2633e328b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.188ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> ein symmetrischer Tensor, dessen Differential H auch ein symmetrischer Tensor ist. Beim Skalarprodukt mit diesem trägt nur der symmetrische Anteil etwas bei:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} ={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}):\mathbf {H} =\mathbf {K} _{ij}:\mathbf {H} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/520f8da0c5e8dec8f97c19afb7e6ccebfc1f2625.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:51.71ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle ({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} ={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}):\mathbf {H} =\mathbf {K} _{ij}:\mathbf {H} }" loading="lazy"></dd></dl>

Dann wird auch

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {\partial T_{ij}}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {K} _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/309b338761e2a733ca5012e1e0c4445346fbe260.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.66ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {\partial T_{ij}}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {K} _{ij}}" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>J.F. Nye: <cite style="font-style:italic">Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices</cite>. Oxford University Press, 1985, ISBN 978-0-19-851165-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthotropie&rft.au=J.F.+Nye&rft.btitle=Physical+Properties+of+Crystals%3A+Their+Representation+by+Tensors+and+Matrices&rft.date=1985&rft.genre=book&rft.isbn=9780198511656&rft.pub=Oxford+University+Press" style="display:none"> </li>

<li><a href="Holm_Altenbach" title="Holm Altenbach">H. Altenbach</a>, J. Altenbach, R. Rikards: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke</cite>. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996, ISBN 3-342-00681-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Orthotropie&rft.au=H.+Altenbach%2C+J.+Altenbach%2C+R.+Rikards&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Mechanik+der+Laminat-+und+Sandwichtragwerke&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=3342006811&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Deutscher+Verlag+f%C3%BCr+Grundstoffindustrie" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>